Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，2），它的顶点为D（1，m），且tan∠COD＝．

（1）求m的值及抛物线的表达式；

（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．若点A是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点（位于x轴上方），且∠APB＝45°．求P点的坐标．

Answer

（1）（2）E（3,-1）（3）

【解析】

（1）作DH⊥y轴,根据，求出m的值，再根据对称轴是x＝1，和C,D两点求出抛物线的表达式即可；

（2）设平移后的抛物线表达式为，然后得出OA＝OB,得出B（0,2＋k），A点的坐标为（2＋k,0），然后代入求出k的值即可；

（3）设P（1,y），设对称轴与AB的交点为M，与x轴的交点为H，则H（1,0），由（2）得出A,B的坐标，然后得出△BMP∽△BPA，然后根据

【解析】
（1）作DH⊥y轴，垂足为H，∵D（1,m）（），∴DH＝ m，HO＝1.

∵，∴，∴m＝3.

∴抛物线的顶点为D（1,3）.

又∵抛物线与y轴交于点C（0,2），

∴（2∴∴抛物线的表达式为.

（2）∵将此抛物线向上平移，

∴设平移后的抛物线表达式为.

则它与y轴交点B（0,2＋k）.

∵平移后的抛物线与x轴正半轴交于点A，且OA＝OB，∴A点的坐标为（2＋k,0）.

∴.∴.

∵，∴.

∴A（3,0），抛物线向上平移了1个单位.

∵点A由点E向上平移了1个单位所得，∴E（3,－1）.

（3）由（2）得A（3,0），B（0, 3），∴.

∵点P是抛物线对称轴上的一点（位于x轴上方），且∠APB＝45°,原顶点D（1,3）,

∴设P（1,y），设对称轴与AB的交点为M，与x轴的交点为H，则H（1,0）.

∵A（3,0），B（0, 3），∴∠OAB＝45°, ∴∠AMH＝45°.

∴M（1,2）. ∴.

∵∠BMP＝∠AMH, ∴∠BMP＝45°.

∵∠APB＝45°, ∴∠BMP＝∠APB.

∵∠B＝∠B，∴△BMP∽△BPA.

∴.∴

∴.∴（舍）.

∴