Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC分别交射线AB、射线CB于点E、F．

（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；

（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：∠DCE的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE的正切值；若不确定，则设AE＝x，∠DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积．

Answer

（1）9；（2）∠DCE的大小确定，.（3）当△AEF的面积为3时，△DCE的面积为25或73.

【解析】

（1）根据AD//BC和 E为AB中点，得出 AD＝ BF，DE＝ EF，再根据AD＝3，AB＝6，求出BF＝3，再求出DF的值，最后求出CF即可；

（2）作CH⊥AD交AD的延长线于点H，再得出△AED∽△HDC再根据AB⊥AD，CH⊥AD，AD//BC，得出CH ＝AB＝6，然后得出∠DCE的正切值；

（3）当点E在边AB上，设AE＝x，根据△AEF的面积为3得出x的值，再求出DE,DC的值，然后可以得出△DCE的面积；当点E在边AB延长线上，设AE＝y，根据△AEF的面积为3，得出，联结CE，作CH⊥AD交AD的延长线于点H，得出DC,DE的值即可.

【解析】
（1）∵AD//BC，∴.∵E为AB中点，∴AE＝BE. ∴AD＝ BF，DE＝ EF.

∵AD＝3，AB＝6，∴BF＝3，BE＝3. ∴BF＝BE.

∵AB⊥BC，∴∠F＝45°且EF＝.

∴DF＝2EF＝.

∵DF⊥DC，∠F＝45°，∴CF＝12.

∴BC＝ .

（2）∠DCE的大小确定，.

作CH⊥AD交AD的延长线于点H，∴∠HCD＋∠HDC＝90°.

∵DF⊥DC，∴∠ADE＋∠HDC＝90°. ∴∠HCD＝∠ADE.

又∵AB⊥AD，∴∠A＝∠CHD. ∴△AED∽△HDC.

∴.

∵AB⊥AD，CH⊥AD，AD//BC，∴CH ＝AB＝6.

∵AD＝3，CH＝6，∴.即.

（3）当点E在边AB上，设AE＝x，

∵AD//BC，∴，即.∴.

∵△AEF的面积为3，∴.

∴.

∵AD＝3，AB⊥AD，∴DE＝5. ∵，∴DC＝10.

∵DF⊥DC，∴.

当点E在边AB延长线上，设AE＝y，

∵AD//BC，∴，即.∴.

∵△AEF的面积为3，∴.∴.

∵AD＝3，AB⊥AD，∴DE＝.

联结CE，作CH⊥AD交AD的延长线于点H，同（1）可得.

∴DC＝

∵DF⊥DC，∴.

综上，当△AEF的面积为3时，△DCE的面积为25或73.