Question

抛物线过点，顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM＝90˚．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标；

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK＝90˚，说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）存在．

【解析】

试题（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b、c的值，得出抛物线解析式；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a），过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．

（1）根据题意，得

解得

∴ 抛物线的解析式为．

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM＝90˚．

x=，.

∴ 顶点M的坐标为．

设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为．

过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．

则 ∠POE＋∠MOF＝90˚，∠POE＋∠EPO＝90˚．

∴ ∠EPO＝∠FOM．

∵ ∠OEP＝∠MFO＝90˚，

∴ Rt△OEP∽Rt△MFO．

∴ OE∶MF=EP∶OF．

即．

解，得（舍去），．

∴ P点的坐标为．

（3）

过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N．则 ∠FMN＋∠OMF＝90˚．

∵ ∠MOF＋∠OMF＝90˚，

∴ ∠MOF＝∠FMN．

又∵ ∠OFM＝∠MFN＝90˚，

∴ △OFM∽△MFN．

∴ OF∶MF＝MF∶FN． 即 4∶2＝2∶FN．∴ FN＝1．

∴ 点N的坐标为（0，-5）．

设过点M，N的直线的解析式为．

解，得直线的解析式为．

∴把①代入②，得．

．

∴ 直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．

∴ 抛物线上必存在一点K，使∠OMK＝90˚．