Question

如图，二次函数y=x²﹣4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．

（1）点A的坐标为　   　，线段OB的长=　   　；

（2）设点C的横坐标为m．

①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；

②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．

Answer

（1） A（4，0），5；（2）①；②当m=时，△ACD的周长最小，这个最小值为8．

【解析】

（1）根据y=x2﹣4x中，令y=0，则0=x2﹣4x，可求得A（4，0），解方程组，可得B（5，5），进而得出OB的长；

（2）①根据C（m，m），F（m，m2﹣4m），可得CF=m﹣（m2﹣4m），根据D（m，m），E（m，（m）2﹣4（m）），可得DE=m[（m）2﹣4（m）]，最后根据当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，求得m的值即可；

②先过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，得出AC=DG，再作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，根据当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，可得此时AC+AD最短，然后求得直线A'G的解析式为yx+4，解方程组可得D、C的坐标，最后根据两点间距离公式，求得△ACD的周长的最小值．

（1）∵y=x2﹣4x中，令y=0，则0=x2﹣4x，

解得：x1=0，x2=4，

∴A（4，0），解方程组，

可得：或，

∴B（5，5），

∴OB．

故答案为：（4，0），5；

（2）①∵点C的横坐标为m，且CF∥DE∥y轴，

∴C（m，m），F（m，m2﹣4m）．

又∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，

∴D（m，m），E（m，（m）2﹣4（m）），

∴CF=m﹣（m2﹣4m），DE=m[（m）2﹣4（m）]．

∵当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，

∴m﹣（m2﹣4m）=m[（m）2﹣4（m）]，

解得：；

②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，

∴AC=DG，

作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，

∴当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，此时AC+AD最短．

∵A（4，0），AG=CD=2，

∴A'（0，4），G（4），

设直线A'G的解析式为y=kx+b，则，

解得：，

∴直线A'G的解析式为yx+4，

解方程组，

可得：，

∴D（，）．

∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，

∴C（，），

∴点C的横坐标m=．

∵AD=A'D，AC=DG，CD=AG=2，

∴△ACD的最小值为A'G+AG==6+2=8，

故当m=时，△ACD的周长最小，这个最小值为8．