Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(4，2)．点M是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象经过点M且与边AB交于点N，连接MN．

(1)当点M是边BC的中点时．

①求反比例函数的表达式；

②求△OMN的面积；

(2)在点M的运动过程中，试证明：是一个定值．

Answer

(1)①y＝；②3；(2)证明见解析.

【解析】

（1）①由矩形的性质及M是BC中点得出M（2，4），据此可得反比例函数解析式；

②先求出点N的坐标，从而得出CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，再根据S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN计算可得．

（2）设M（a，2），据此知反比例函数解析式为y＝，求出N（4，），从而得BM＝4﹣a，BN＝2﹣，再代入计算可得．

(1)①∵点B(4，2)，且四边形OABC是矩形，

∴OC＝AB＝2，BC＝OA＝4，

∵点M是BC中点，

∴CM＝2，

则点M(2，2)，

∴反比例函数解析式为y＝；

②当x＝4时，y＝＝1，

∴N(4，1)，

则CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，

∴S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN

＝4×2﹣×4×1﹣×2×2﹣×2×1

＝3；

(2)设M(a，2)，

则k＝2a，

∴反比例函数解析式为y＝，

当x＝4时，y＝，

∴N(4，)，

则BM＝4﹣a，BN＝2﹣，

∴＝＝＝2．