Question

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(-3，1)．

(1)求点B的坐标；

(2)求过A、O、B三点的抛物线的解析式；

(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B₁，求△AB₁B的面积．

Answer

(1)点B的坐标为(1，3)；(2)y=x2+x；(3)=.

【解析】

（1）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D，可证明△AOC≌△BOD，则B点的横坐标即为A点的坐标轴，B的纵坐标是A点的横坐标的绝对值，因此可求出B的坐标；（2）已知A,O的坐标，根据（1）求出的B点坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）根据（2）的解析式可得出对称轴的解析式，根据B点坐标得出B1坐标，则BB1就是三角形的底边，B的纵坐标与A的纵坐标的查的绝对值就是△ABB1的高，因此可求出其面积.

（1）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D，

则∠ACO=∠ODB=90°，

∴∠AOC+∠OAC=90°，

又∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

又AO=BO，

∴△AOC≌△BOD（AAS）

∴OD=AC=1，DB=OC=3，

∴点B的坐标为（1,3）

（2）因抛物线过原点，

设所求的抛物线解析式为y=ax2+bx,

将A（-3，1），B（1,3）代入

得

解得a=，b=

∴所求的抛物线解析式为y=x2+x；

（3）在y=x2+x中，对称轴

点B1是点B关于抛物线的对称轴的对称点，

故B1（，3）

在△ABB1中，底边B1B=，高为2，

故S△ABB1=.