Question

如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4，0)，以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连结CP．

(1)求∠OAC的度数；

(2)如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；

(3)如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？

Answer

（1）60°．（2）4.（3）2或2+2．

【解析】

试题（1）OA=AC首先三角形OAC是个等腰三角形，因为∠AOC=60°，三角形AOC是个等边三角形，因此∠OAC=60°；

（2）如果PC与圆A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度数，有A点的坐标也就有了AC的长，可根据余弦函数求出PA的长，然后由PO=PA-OA得出OP的值．

（3）本题分两种情况：

①以O为顶点，OC，OQ为腰．那么可过C作x轴的垂线，交圆于Q，此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO可在直角三角形OCP中，根据∠COA的度数，和OC即半径的长求出PO．

②以Q为顶点，QC，QD为腰，那么可做OC的垂直平分线交圆于Q，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交OC于D的话，可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐标；然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式，得出这条直线与x轴的交点，也就求出了PO的值．

试题解析：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠OAC=60°．

（2）∵CP与A相切，

∴∠ACP=90°，

∴∠APC=90°-∠OAC=30°；

又∵A（4，0），

∴AC=AO=4，

∴PA=2AC=8，

∴PO=PA-OA=8-4=4．

（3）①过点C作CP1⊥OB，垂足为P1，延长CP1交⊙A于Q1；

∵OA是半径，

∴ 弧OC=弧OQ1，

∴OC=OQ1，

∴△OCQ1是等腰三角形；

又∵△AOC是等边三角形，

∴P1O=OA=2；

②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q2，CQ2与x轴交于P2；

∵A是圆心，

∴DQ2是OC的垂直平分线，

∴CQ2=OQ2，

∴△OCQ2是等腰三角形；

过点Q2作Q2E⊥x轴于E，

在Rt△AQ2E中，

∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°，

∴Q2E=AQ2=2，AE=2，

∴点Q2的坐标（4+2，-2）；

在Rt△COP1中，

∵P1O=2，∠AOC=60°，

∴CP1＝2，

∴C点坐标（2，2）；

设直线CQ2的关系式为y=kx+b，则

，解得，

∴y=-x+2+2；

当y=0时，x=2+2，

∴P2O=2+2．

考点: 1.切线的性质；2.等腰三角形的性质；3.等边三角形的性质.