Question

如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且EF⊥BE，EF=BE，△DEF的外接圆⊙O恰好切BC于点G，BF交⊙O于点H，连结DH.若AB=8，则DH=_____.

Answer

7

【解析】

如图，连接OG，反向延长交DE于M，连接EH，过H作HN//BC，HP//CF，根据AAS可证明△BAE≌△EDF，即可得出DE=AB=8，由切线性质可知OG⊥BC，OM⊥DE，MG=AB=8，

由垂径定理可得ME的长，利用勾股定理可求出OE的长，进而可得OM的长，根据中位线的性质可得DF的长，根据等腰三角形的性质可得BH=HF，由HN//BC，HP//CF，∠C=90°可判定四边形HPCN是矩形，进而可得HP是△BFC的中位线，即可求出FN的长，进而可得DN的长，由圆周角定理可得∠EDH=45°，即可求出∠HDN=45°，即可证明△DHN是等腰直角三角形，即可求出DH的长.

如图，连接OG，反向延长交DE于M，连接EH，过H作HN//BC，HP//CF，

∵∠BEF=90°，ABCD是矩形，

∴∠ABE+∠AEB=90°，∠DEF+∠AEB=90°，

∴∠ABE=∠DEF，

又∵BE=EF，∠BAE=∠EDF=90°，

∴△BAE≌△EDF，

∴DE=AB=8，

∵⊙O切BC于G，

∴OG⊥BC，OM⊥DE，MG=AB=8，

∴ME=DE=4，

在Rt△OEM中，OE2=OM2+ME2，即OE2=(8-OE)2+42，

解得：OE=5，

∴OM=3，

∵OM是△DEF的中位线，

∴DF=2OM=6，

∴CF=8-6=2，

∵∠EDF=90°，⊙O是△DEF的外接圆，

∴EF是⊙O的直径，

∴∠EHF=90°，

∵BE=EF，

∴BH=HF，

∵HN//BC，HP//CF，∠C=90°，

∴四边形HPCN是矩形，

∴PH是△BFC的中位线，

∴PH=CN，PH=CF，

∴CN=1，FN=1，

∴DN=6+1=7，

∵∠BFE=∠EDH=45°，∠EDF=90°，

∴∠HDN=45°，

∴△DHN是等腰直角三角形，

∴DH=DN=7.

故答案为：7