Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CF垂直直径BD于点E，交边AB于点F.

（1）求证：∠BFC=∠ABC.

（2）若⊙O的半径为5，CF=6，求AF长.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连结AD，由BD是直径可得∠BAD=90°，由CF⊥BD可得∠BEF=90°，可得∠BFC=∠ADB，根据等腰三角形性质和圆周角定理即可证明∠BFC=∠ABC；（2）连接CD，由BD是直径可得∠BCD=90°，根据（1）的结论可得CF=BC=6，利用勾股定理可求出CD的长，即可得∠DBC的余弦和正弦值，进而可得CE、BE的长，即可得EF的长，利用勾股定理可得BF的长，即可求出的余弦值，进而求出AB的长，根据AF=AB-BF即可得答案.

（1）证明：连结AD，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，

∵CF⊥BD，

∴∠BEF =90°，

∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠BFE=90°，

∴∠BFC=∠ADB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠ACB=∠ADB，

∴∠BFC=∠ABC.

（2）连结CD，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD=90°，

∵∠BFC=∠ABC，

∴BC=CF=6，

∵BD=10，

∴CD==8，

∴cos∠DBC=，sin∠DBC=，

在Rt△BCE中，，，

∴，

∴，

∵，即，

∴，

∴.