Question

如图，直角坐标系中，抛物线y＝a( x－4 )²－16（a>0）交x轴于点E，F（E在F的左边），交y轴于点C，对称轴MN交x轴于点H；直线y＝x＋b分别交x，y轴于点A，B．

（1）写出该抛物线顶点D的坐标及点C的纵坐标（用含a的代数式表示）.

（2）若AF=AH=OH，求证：∠CEO=∠ABO.

Answer

（1）顶点D坐标为（4，－16）；点C的纵坐标为16a－16；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据二次函数顶点式的性质解答即可得顶点坐标，令x=0，即可得C点纵坐标；（2）根据顶点坐标及AF=AH=OH可得F、A、E点坐标，把F和A点坐标分别代入二次函数和一次函数解析式可得a、b的值，进而可求出C点坐标及OC的长，利用∠CEO和∠ABO的正切值相等即可证明∠CEO=∠ABO.

（1）∵二次函数解析式为y＝a( x－4 )2－16（a>0），

∴顶点D坐标为（4，－16），

当x=0时，y=a(0-4)2-16=16a-16，

∴点C的纵坐标：16a－16.

（2）∵D（4，－16），

∴OH=4，

∵AF=AH=OH，EH=HF，

∴F(12，0)，A(8，0)，E(－4，0)，

∴，，

，，

∴C(0，－12)，OC=12，B（0，-），OB=，

，，

∴∠CEO=∠ABO.