Question

如图，一次函数y=k₁x+b的图象与反比例函数y=(x<0)的图象相交于点A(﹣1，2)、点B(﹣4，n)．

       (1)求此一次函数和反比例函数的表达式；

       (2)求△AOB的面积；

       (3)在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标．

Answer

(1) ；(2) ；(3)P点坐标为（，0）

【解析】

(1)由点A的坐标求反比例函数的解析式，得到点B的坐标，待定系数法求一次函数的解析式；(2)分别过点A，B用坐标轴的平行线构造矩形，用图形面积的和差关系求三角形AOB的面积；(3)作点A关于x轴的对称点A′，直线A′B与x轴的交点即是点P.

(1)∵反比例的图象经过点A(—1，2)，

∴＝—1×2＝—2，

∴反比例函数表达式为：，

∵反比例的图象经过点B(—4，n)，

∴—4n＝—2，，∴B点坐标为(—4，)，

∵直线经过点A(—1，2)，点B(—4，)，

∴，

①—②，得：3，∴，

把代入①，得：b＝，

∴一次函数表达式为：．

(2)如图1所示，分别过点B作BD⊥x轴，垂足为D，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，则四边形ODFE为矩形，

∵点A(—1，2)，点B(—4，)，

∴OD＝EF＝4，OE＝DF＝2，AE＝1，BD＝，

∴，.

∵点A，点B在函数的图象上，∴

∴.

(3)如图2所示，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，

∵点A′和A(—1，2)关于x轴对称，∴点A′的坐标为(—1，—2)，

设直线A′B的表达式为

∵经过点A′(—1，—2)，点B(—4，)，∴

解得：，.

∴直线A′B的表达式为：.

当y＝0时，则x＝，∴P点坐标为(，0).