Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC>AB，在BC边上取点D，使AB=BD，构造正方形ABDE，DE交AC于点F，作EG⊥AC交AC于点G，交BC于点H．

(1)求证：△AEF≌△EDH．

(2)若AB=3，DH=2DF，求BC的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）4.5

【解析】

（1）根据正方形的性质，通过“角边角”即可得证；

（2）设DF=x，则DH=2x，由（1）可得ED=EF+DF=3x=AB，易证△DFC∽△BAC，则，求得DC=，进而求得BC的长.

证明：(1)∵四边形ABDE是正方形，

∴AE=DE，∠AED=∠EDH=90°， 

∵EG⊥AC，

∴∠AGE=90°， 

∴∠GAE+∠AEG=∠AEG+∠DEH=90°，

∴∠GAE=∠DEH， 

在△AEF和△EDH中，

∵,

∴△AEF≌△EDH（ASA）； 

(2)设DF=x，则DH=2x，

∵△AEF≌△EDH．

∴EF=DH=2x，

∴ED=EF+DF=3x=AB， 

∵四边形ABDE是正方形，

∴AB∥DF，

∴△DFC∽△BAC，  

∴，

∵BD=3， 

∴DC=，

∴BC=BD+CD=3+=4.5.