Question

已知：如图1，等边△ABC内接于⊙O，点P是⌒AB上的任意一点，连结PA，PB，PC．点D是PC上一点，连结DB．

(1) 若PD=PB，求∠PBD的度数；

(2)在(1)的条件下，小丽探究的值，她认为只要弄清PA+PB与PC的关系即可，她的思路可以用以下框图表示：

根据小丽的思路，请你完整地书写本题的探究过程，并求出的值．

(3)如图2，把条件“等边△ABC”改为“正方形ABCD”，其余条件不变，判断是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）利用等边三角形的性质与判定即可得证；

（2）先通过“边角边”证明△PBA≌△DBC，则PA=CD，即PC=CD+PD=PA+PB，然后整理求解即可；

（3）根据正方形的性质通过“边角边”证明△PAB≌△HAD，得PB=DH，即PD=DH+PH=PB+PA，同理可证： PC=PA+PB，则可得PC+PD=（1+）（PA+PB），然后进行整理计算即可.

【解析】
(1)∵△ABC是等边三角形，

∴BA=BC，∠BAC=∠ABC=60°， 

∵∠BPD=∠CAB=60°，PD=PB，

∴△PDB是等边三角形， 

∴∠PBD=∠ABC=60°． 

(2)∵∠PBD=∠ABC=60°

∴∠PBA=∠DBC，

∵BP=BD，BA=BC，

∴△PBA≌△DBC（SAS）， 

∴PA=CD， 

∴PC=CD+PD=PA+PB． 

∴ ；

(3)如图2中，连接OA，OD，作AH⊥AP交PD于点H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=90°，∠AOD=90°， 

∵∠APD=∠AOD=45°，AH⊥PA，

∴∠PAH=90°，∠AHP=∠APH=45°，

∴AH=AP，

∵∠PAH=∠BAD=90°，

∴∠PAB=∠HAD，

∴△PAB≌△HAD（SAS），

∴PB=DH， 

∴PD=DH+PH=PB+PA，

同理可证：PC=PA+PB，

∴PC+PD=（1+）（PA+PB），

∴.