Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．

(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

(2)如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；

(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△PAE面积S的最大值是；（3）点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．

【解析】

（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点D的坐标；

（2）根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P的坐标，然后根据图形可以得到△APE的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△PAE面积S的最大值；

（3）根据题意可知存在点Q使得四边形OAPQ为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性质可以求得点Q的坐标．

【解析】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，

∴ ，得，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），

即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；

（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，

，得，

∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，

∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），

∴设点P的坐标为（p，2p+6），

∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+，

∵﹣3＜p＜﹣1，

∴当p＝﹣时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝，

即△PAE面积S的最大值是；

（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，

∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，

∴OA＝PQ，

∵点A（﹣3，0），

∴OA＝3，

∴PQ＝3，

∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，

∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），

∴，

解得，或（舍去），

当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，

即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．