Question

如图，以AB为直径的⊙O经过点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，D是⊙O上于点，且弧BC=弧CD，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接AC．

（1）求∠E的度数；

（2）若⊙O的直径为5，sinP＝，求AE的长．

Answer

（1）90°；（2）4

【解析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠OAC＝∠CAD，推出OC∥AE，根据平行线的性质得到∠E＝∠OCP．根据切线的性质即可得到结论；

（2）运用三角函数值在Rt△OCP中求得OP，然后在Rt△APE中求得AE即可.

【解析】
（1）连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵弧BC＝弧CD，

∴∠OAC＝∠CAD，

∴∠OCA＝∠CAD，

∴OC∥AE，

∴∠E＝∠OCP，

∵PE是的切线，C为切点，

∴∠OCP＝90°．

∴∠E＝90°；

（2）在Rt△OCP中，OC＝ =2.5，sin∠P＝，

∴OP＝，

在Rt△APE中，AP＝+2.5＝，sin∠P＝，

∴AE＝4．