Question

已知关于x的一元二次方程mx²﹣（m﹣1）x﹣1＝0．

（1）求证：这个一元二次方程总有两个实数根；

（2）若二次函数y＝mx²﹣（m﹣1）x﹣1有最大值0，则m的值为　   　；

（3）若x₁、x₂是原方程的两根，且＝2x₁x₂+1，求m的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）-1；（3）m＝或m＝．

【解析】

（1）先计算判别式得到△＝（m+1）2，根据非负数的性质即可得到△≥0，于是利用判别式的意义即可得到结论；

（2）根据二次函数的性质得m＜0且＝0，然后解方程即可；

（3）先根据根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，再把＝2x1x2+1变形得到＝2x1x2+1，则＝2•（﹣）+1，然后解关于m的方程即可．

（1）证明：m≠0，

△＝（m﹣1）2﹣4m×（﹣1）

＝（m+1）2，

∵（m+1）2≥0，即△≥0，

∴这个一元二次方程总有两个实数根；

（2）【解析】
∵二次函数y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1有最大值0，

∴m＜0且＝0，

∴m＝﹣1；

故答案为﹣1．

（3）【解析】
x1+x2＝，x1x2＝﹣，

∵＝2x1x2+1，

∴＝2x1x2+1，

∴＝2•（﹣）+1，

整理得m2+m﹣1＝0，

∴m＝或m＝．