Question

已知开口向上的抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，∠ACB不小于90°．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）求系数a的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为D，求△BCD中CD边上的高h的最大值．

（4）设E(-，0)，当∠ACB＝90°，在线段AC上是否存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）点C的坐标为（0，﹣3a）．（2）0＜a≤；（3）1；（4）当∠ACB＝90°，在线段AC上存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分，点F的坐标是（﹣，﹣）．

【解析】

（1）由抛物线 y＝ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（1，0），得出c与a的关系，即可得出C点坐标；

（2）利用已知得出△AOC∽△COB，进而求出OC的长度，即可得出a的取值范围；

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，得出抛物线的对称轴为x＝﹣1，进而求出△DCG∽△HCO，得出OH＝3，过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM＝h，根据h＝HB sin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤，即可求出答案；

（4）连接CE，过点N作NP∥CD交y轴于P，连接EF，根据三角形的面积公式求出S△CAEF＝S四边形EFCB，根据NP∥CE，求出P（0，-2），设过N、P两点的一次函数是y＝kx+b，代入N、P的左边得到方程组，求出直线NP的解析式，同理求出A、C两点的直线的解析式，组成方程组求出即可．

（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（1，0），

∴消去b，得 c＝﹣3a．

∴点C的坐标为（0，﹣3a），

答：点C的坐标为（0，﹣3a）．

（2）当∠ACB＝90°时，

∠AOC＝∠BOC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°，∠ACO+∠BCO＝90°，

∴∠ACO＝∠OBC，

∴△AOC∽△COB，

∴，

即 OC2＝AO•OB，

∵AO＝3，OB＝1，

∴OC＝，

∵∠ACB不小于90°，

∴OC≤，即﹣c≤，

由（1）得 3a≤，

∴a≤，

又∵a＞0，

∴a的取值范围为0＜a≤，

答：系数a的取值范围是0＜a≤．

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，如图．

∵抛物线 y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）．

∴抛物线的对称轴为x＝﹣1．

即﹣＝﹣1，所以b＝2a．

又由（1）有c＝﹣3a．

∴抛物线方程为 y＝ax2+2ax﹣3a，D点坐标为（﹣1，﹣4a）．

于是 CO＝3a，GC＝a，DG＝1．

∵DG∥OH，

∴△DCG∽△HCO，

∴，即，得 OH＝3，表明直线DC过定点H（3，0）．

过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM＝h，

∴h＝HB sin∠OHC＝2 sin∠OHC．

∵0＜CO≤，

∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤．

∴0＜h≤1，即h的最大值为1，

答：△BCD中CD边上的高h的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，当∠ACB＝90°时，a=，CO=，

设AB的中点为N，连接CN，则N（﹣1，0），CN将△ABC的面积平分，

连接CE，过点N作NP∥CE交y轴于P，显然点P在OC的延长线上，从而NP必与AC相交，设其交点为F，连接EF，

因为NP∥CE，所以S△CEF＝S△CEN，

由已知可得NO＝1，EO=，而NP∥CE，

∴PO=2CO=2，得P（0，-2），

设过N、P两点的一次函数是y＝kx+b，则，

解得：k=b=-2，

即y=-2(x+1)，①

同理可得过A、C两点的一次函数为x+y+3=0，②

解由①②组成的方程组得x=-，y=-，

故在线段AC上存在点F(-,-)满足要求．

答：当∠ACB＝90°，在线段AC上存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分，点F的坐标是(-,-)．