Question

（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．

试说明∠D=90°+∠A的理由．

【解析】
因为BD平分∠ABC（已知），

所以∠1=　       　（角平分线定义）．

同理：∠2=　       　．

因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°，（　          　），

所以∠D =　               　（等式性质）．

即：∠D=90°+∠A．

（2）探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由：

（i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．

答：∠D与∠A之间的等量关系是　          　．

（ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．

答：∠D与∠A之间的等量关系是　           　．

Answer

（1）∠ABC；∠ACB；三角形的内角和等于180°；∠D=180°﹣（∠ABC+∠ACB）；（2）∠D=90°﹣∠A；∠D=∠A

【解析】试题（1）、（2）、（3）关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于180°”及等式的性质分析求解．试题解析：（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．

试说明∠D=90°+∠A的理由．

【解析】
因为BD平分∠ABC（已知），

所以∠1= ∠ABC （角平分线定义）．

同理：∠2= ∠ACB ．

因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°，（ 三角形的内角和等于180° ），

所以 ∠D=180°﹣（∠ABC+∠ACB） （等式性质）．

即：∠D=90°+∠A．

（2）探究，请直接写出结果，无需说理过程：

（i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．

答：∠D与∠A之间的等量关系是 ∠D=90°﹣∠A ．

（ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．

答：∠D与∠A之间的等量关系是 ∠D=∠A ．（每空1分）

（2）【解析】
（i）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D=90°﹣∠A．

理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，

∴∠EBD=∠DBC，∠BCD=∠DCF，

∴∠DBC+∠DCB+∠D=180°，

∴∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

而∠ABC=180°﹣2∠DBC，

∠ACB=180°﹣2∠DCB，

∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB=180°，

∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）=﹣180°，

∴∠A﹣2（180°﹣∠D）=﹣180°，

∴∠A﹣2∠D=180°，

∴∠D=90°﹣∠A

（ii）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D=∠A．

理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，

∴∠DCE=∠DBC+∠D，

∵∠A+2∠DBC=2∠DCE

∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D

∴∠A=2∠D

即：∠D=∠A