Question

我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

特例探索

（1）①如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　   　，b＝　   　；

②如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，求a和b的值．

归纳证明

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．

（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：

在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图4所示，求MG²+MH²的值．

Answer

（1）①2，2；② a＝2，b＝2；（2）关系为：a2+b2＝5c2，证明见解析；（3）5.

【解析】

（1）在图1中，PB＝ABsin45°＝2＝PA，即可求解；同理可得：a＝2，b＝2；

（2）PB＝ABcosα＝ccosα，PA＝csinα，PF＝PA＝csinα，PE＝csinα，则a2+b2＝（2AE）2+（2BF）2，即可求解；

（3）证明：MG＝ME＝MB，MH＝MC，则MG2+MH2＝（MB2+MC2），即可求解．

【解析】
如图1、2、3、4，连接EF，则EF是△ABC的中位线，

则EF＝AB，EF∥AB，∴△EFP∽△BPA，

∴…①，

（1）在图1中，PB＝ABsin45°＝2＝PA，

由①得：PF＝1，

b＝2BF＝2＝2＝a；

②同理可得：a＝2，b＝2；

（2）关系为：a2+b2＝5c2，

证明：如图3，设：∠EAB＝α，

则：PB＝ABcosα＝ccosα，PA＝csinα，

由①得：PF＝PA＝csinα，PE＝csinα，

则a2+b2＝（2AE）2+（2BF）2＝c2×5[（sinα）2+（cosα）2]＝5c2；

（3）∵AE＝OE＝EC，AG∥BC，

∴AG＝BC＝AD，则EF＝BC＝AD，

同理HG＝AD，∴GH＝AD，

∴GH＝EF，

∵GH∥BC，EF∥BC，

∴HG∥EF，∴MG＝ME＝MB，

同理：MH＝MC，

则MG2+MH2＝（MB2+MC2）＝×5×BC2＝5．