Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则下列结论中①BC＝BD＝AD；②S_△ABD：S_△BCD＝AD：DC；③BC²＝CD•AC；④若AB＝2，则BC＝﹣1，其中正确的结论的个数是_____个．

Answer

4

【解析】

在△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD为等腰三角形，可得AD=BD=BC，①正确；由三角形的面积公式得出②正确；利用三角形相似的判定与性质得出③④正确，即可得出结果．

①由AB＝AC，∠A＝36°，得∠ABC＝∠C＝72°，

又BD平分∠ABC交AC于点D，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°＝∠A，

∴AD＝BD，

∠BDC＝∠ABD+∠A＝72°＝∠C，

∴BC＝BD，

∴BC＝BD＝AD，

∴①正确；

②△ABD与△BCD在AC边上的高相等，

故△ABD与△BCD的面积比等于对应底边的比，

∴②正确；

③由①的条件可证△BCD∽△ACB，

则BC：AC＝CD：BC，

∴BC2＝CD•AC，

∴③正确；

④设BC＝x，则AC＝AB＝2，CD＝AC﹣AD＝2﹣x，

由BC2＝CD•AC，得x2＝（2﹣x）•2，

解得x＝±﹣1（舍去负值），

∴BC＝﹣1，

∴④正确．

正确的有4个，

故答案为：4．