Question

已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．

（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．

①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer

(1)略；(2)外心P一定落在直线DB上；2.

【解析】

试题(1)连接OE、OF，根据菱形得出AC⊥BD，BD平分∠ADC，AO=DC=BC，则∠COD=∠COB=∠AOD=90°，∠ADO=30°，根据E、F分别为中点得出OE=OF=OA，即外心；(2)分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，则∠PIE=∠PJD=90°，∠ADC=60°，∠IPJ=120°，根据点P是等边△AEF的外心得到∠EPA=120°，PE=PA，从而说明△PIE≌△PJA，即PI=PJ，从而得出结论；当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点，连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心，设DM=x，DN=y则CN=y－1，根据BC∥DA得到△GBP≌△MDP，则BG=DM=x，CG=1－x，根据BC∥DA得到△GBP∽△NDM则，即从而得出结论.

试题解析：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC

∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°， ∠ADO=∠ADC=×60°=30°

又∵E、F分别为DC、CB中点，∴OE=CD，OF=BC，AO=AD

∴0E=OF=OA ∴点O即为△AEF的外心。

（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上。证明如下：

如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，

∴∠PIE=∠PJD=90° ∵∠ADC=60°，

∴∠IPJ=360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI=120°，

∵点P是等边△AEF的外心， ∴∠EPA=120°，PE=PA ∴∠IPJ=∠EPA。

∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA（AAS） ∴PI=PJ ∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上

②为定值2

当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．

连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心 如图3．设MN交BC于点G，

设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y－1 ∵BC∥DA，∴△GBP≌△MDP

∴BG=DM=x． ∴CG=1－x ∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM

∴，即∴x＋y=2xy ∴，即=2。