Question

如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；

（3）E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) y＝x2﹣4x+3;(2);(3)见解析.

【解析】

（1）利用待定系数法进行求解即可；

（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），求出直线BC的解析，根据MN∥y轴，得到点N的坐标为（m，﹣m+3），由抛物线的解析式求出对称轴，继而确定出1＜m＜3，用含m的式子表示出MN，继而利用二次函数的性质进行求解即可；

（3）分AB为边或为对角线进行讨论即可求得.

（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c中，

得：，

解得：，

故抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；

（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，

把点B（3，0）代入y＝kx+3中，

得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

∵MN∥y轴，

∴点N的坐标为（m，﹣m+3），

∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的对称轴为x＝2，

∴点（1，0）在抛物线的图象上，

∴1＜m＜3．

∵线段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，

∴当m＝时，线段MN取最大值，最大值为；

（3）存在．点F的坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．

当以AB为对角线，如图1，

∵四边形AFBE为平行四边形，EA＝EB，

∴四边形AFBE为菱形，

∴点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，

∴F点坐标为（2，﹣1）；

当以AB为边时，如图2，

∵四边形AFBE为平行四边形，

∴EF＝AB＝2，即F2E＝2，F1E＝2，

∴F1的横坐标为0，F2的横坐标为4，

对于y＝x2﹣4x+3，

当x＝0时，y＝3；

当x＝4时，y＝16﹣16+3＝3，

∴F点坐标为（0，3）或（4，3），

综上所述，F点坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．