Question

如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：

（1）求证：四边形AFED是平行四边形；

（2）当△ABC满足                    时，四边形AFED是矩形．

当△ABC满足                    时，四边形AFED是菱形．

当△ABC满足                    时，四边形AFED是正方形．

Answer

（1）见解析； （2） ； ∠BAC≠60°且AB=AC；且AB=AC

【解析】

（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，所以DE=AC=AF，同理可证△ABC≌△FEC，得出EF=AB=AD，所以四边形ADEF为平行四边形；
（2）根据ADEF是矩形，则可得出，利用在点A处组成的周角即可算出∠BAC的度数．

当AB=AC且∠BAC≠60°时，根据菱形的判定推出即可；

在四边形AEDF是矩形的条件下再加AB=AC，即可得出结论．

（1）证明：四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=60°-∠EBA，∠ABC=60°-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
在△DBE和△ABC中

∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF，∴DE=AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA．
∵DE=AF，DA=EF，
∴四边形ADEF为平行四边形；

（2）【解析】
当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

理由：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°，
∴当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

∵当∠BAC=60°时，四边形ADEF中的A点与E点重合，此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

∴当∠BAC≠60°且AB=AC时，四边形AFED是菱形，
理由：∵由（1）知：四边形AFED是平行四边形；AD=AB=EF，AC=DE=AF，
∵AB=AC，∴AD=AF，

∴平行四边形AFED是菱形；

当∠BAC=150°且AB=AC，四边形ADEF是正方形．

理由：∵∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

∵AB=AC时，四边形AFED是菱形；

∴当∠ABC=150°，AB=AC时，四边形ADEF是正方形．