Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，AO=AB，OB=4，tan∠AOB=2，点C是线段OA的中点．

（1）求点C的坐标；

（2）若点P是x轴上的一个动点，使得∠APO=∠CBO，抛物线y=ax²+bx经过点A、点P，求这条抛物线的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，点M是抛物线图象上的一个动点，以M为圆心的圆与直线OA相切，切点为点N，点A关于直线MN的对称点为点D．请你探索：是否存在这样的点M，使得△MAD∽△AOB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）C的坐标为（1，2）；（2）y=﹣x2+x或y=x2+x；（3）存在这样的点M（6，4）或（10，-）或（﹣10，20）或（﹣6，4），使得△MAD∽△AOB

【解析】

（1）过点A作AD⊥OB于点D，过点C作CE⊥OB于点E，由等腰三角形的性质可得OD=OB=2，根据tan∠AOB=2，可得AD=4，根据中位线的性质即可求出C点坐标；（2）由（1）可得A点坐标和∠CBE的正切值，进而可得∠APO的正切值，即可求出PD的长，根据PD=|x﹣2|，可求出P点坐标，把A、P两点坐标代入y=ax2+bx即可求出a、b的值，即可得抛物线解析式；（3）若△MAD∽△AOB，则∠MAN=∠AOB，由于（2）中由两个抛物线解析式，所以分两种情况讨论，由于切点N的不确定性，所以点N的位置由两种，一种是点N在点A的上方，另一种是点N在点A的下方．

（1）过点A作AD⊥OB于点D，过点C作CE⊥OB于点E，

∵AO=AB，

∴AD是△AOB的中线，

∴OD=OB=2，

∵tan∠AOB=2，

∴=2，

∴AD=4，

∵CE∥AD，点C是AO的中点，

∴CE是△AOD的中位线，

∴CE=AD=2，OE=OD=1，

∴C的坐标为（1，2）；

（2）由（1）可知：CE=2，BE=3，A的坐标为（2，4），

∴tan∠CBE==，

∵∠APO=∠CBO，

∴tan∠APO=tan∠CBO=，

∴=，

∴PD=6，

设P的坐标为（x，0），

∵D（2，0），

∴PD=|x﹣2|，

∴|x﹣2|=6，

∴x=8或x=﹣4，

∴P（8，0）或（﹣4，0）；

当P的坐标为（8，0）时，把A（2，4）和（8，0）代入y=ax2+bx，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x，

当P的坐标为（﹣4，0）时，把A（2，4）和P（﹣4，0）代入y=ax2+bx，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为：y=x2+x，

综上所述，抛物线的解析式为：y=﹣x2+x或y=x2+x；

（3）∵M为圆心，N为切点，

∴MN⊥OA，

∵D点是A点关于MN的对称点，

∴△MAD是等腰三角形，MA=MD

当△MAD∽△AOB时，

∵△AOB是等腰三角形，

∴∠MAD=∠AOB，

当抛物线的解析式为y=﹣x2+x时，如图2，

①若点N在A的上方时，此时∠MAN=∠AOB，

∴AM∥x轴，

∴M的纵坐标为4，

∴把y=4代入y=﹣x2+x，

解得：x=2（舍去）或x=6，

∴M的坐标为（6，4），

②当点N在点A的下方时，此时∠MDA=∠AOB，

∴DM∥x轴，

过点A作AE⊥DM于点E，交于x轴于点F，设D点横坐标为a，

∴DE=2-a，

∵tan∠MDA=tan∠AOB=2，

∴AE=2DE=4-2a，

∴点M的纵坐标为2a，

∴由勾股定理可知：AD=（2-a），OA=2，

∴，解，

∴DM=，

设M的横坐标为x，

∴x-a=

∴x=，

∴M（，2a）

把M（，2a）代入y=﹣x2+x，

得：2a=-×()2+×()

解得：a=2或a=-，

∴当a=2时，M（2，4）舍去

当a=-时，M（10，-）

当抛物线的解析式为y=x2+x时，如图4，

若点N在点A的上方时，此时∠MAN=∠AOB，

延长MA交x轴于点F，

∵∠MAN=∠OAF，

∴∠AOB=∠OAF，

∴FA=FO，

过点F作FG⊥OA于点G，

∵A（2，4），

∴由勾股定理可求得：AO=2，

∴OG=AO=，

∵tan∠AOB=

∴GF=2，

∴由勾股定理可求得：OF=5，

∴F的坐标为（5，0），设直线MA的解析式为：y=mx+n，

把A（2，4）和F（5，0）代入y=mx+n，

∴，

解得：，

∴直线MA的解析式为：y=﹣+，

联立，

∴解得：x=2（舍去）或x=﹣10，

把x=﹣10代入y=﹣+，

∴y=20，

∴M（﹣10，20），

若点N在点A的下方时，此时∠MAN=∠AOB，

∴AM∥x轴，

∴M的纵坐标为4，

把y=4代入y=x2+x，

∴x=﹣6或x=2（舍去），

∴M（﹣6，4），

综上所述，存在这样的点M（6，4）或（10，-）或（﹣10，20）或（﹣6，4），使得△MAD∽△AOB