Question

如图，在正方形ABCD中，点M在CD的边上，且DM=2，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，已知线段EF的长为，则正方形ABCD的边长为_____

Answer

5

【解析】

连接BM．先判定△FAE≌△MAB（SAS），即可得到EF=BM．设正方形边长为a，则CM=a-2，Rt△BCM中，利用勾股定理即可得到a的值．

如图，连接BM．

∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，∴AE=AD，∠MAD=∠MAE．

∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，∴AF=AM，∠FAB=∠MAD，∴∠FAB=∠MAE，∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE，∴∠FAE=∠MAB，∴△FAE≌△MAB（SAS），∴EF=BM．

设正方形ABCD的边长为a，则MC=a-2，BC=a．

在Rt△BCM中，∵，∴，解得：a=5或a=-3（舍去），∴正方形的边长为5．

故答案为：5．