Question

已知∠A=Rt∠，AB=4，AE=2，点C在线段AE上运动（不与点A点E重合），过点E作ED⊥BC交BC的延长线于D，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

Answer

C

【解析】

连接BE，作BE的中点O，连接OA、OD．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OA=OB=OE，OD=OB=OE，从而得到A、B、E、D四点在⊙O上，过O作OG⊥AE于G，延长OG交⊙O于D，则此时DG最大．易证△ABC∽△GDC，得到，故当DG最大时，最大．在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长，得到半径的长．由三角形中位线得到OG的长，从而得到DG的最大长度，即可得到结论．

连接BE，作BE的中点O，连接OA、OD．

∵∠A=∠BDE=90°，AO是Rt△ABE斜边上的中线，∴OA=OB=OE，同理OD=OB=OE，∴A、B、E、D四点在⊙O上，过O作OG⊥AE于G，延长OG交⊙O于D，则此时DG最大．

∵∠A=90°，∴∠A=∠DGC=90°．

∵∠ACB=∠DCG，∴△ABC∽△GDC，∴，∴当DG最大时，最大．

∵BE==10，∴OB=OE=OD=5．

∵OG⊥AE，∴AG=GE．

∵BO=EO，∴OG为△ABE的中位线，∴OG=AB=2，∴DG=OD－OG=5－2=3，∴．

故选C．