Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的直径为6，线段BC=2，求∠BAC的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

试题（1）连接OA，要证明AD是⊙O的切线即要证明OA⊥AD，由∠ABC=45°可得出∠AOC=90°，由OC∥AD可得出∠OAD=90°，即证明出OA⊥AD；（2）延长CO交圆O于F，连接BF，要求sin∠BAC即要求sin∠F，因为直径CF，所以∠FBC=90°，所以得出sin∠BAC =sin∠F==.

试题解析：

（1）证明：连接OA，

∵∠ABC=45°，

∴∠AOC=2∠ABC=90°，

∴OA⊥OC，

∵AD∥OC，

∴OA⊥AD，

∴AD是⊙O的切线．

（2）

延长CO交圆O于F，连接BF，

∴∠F=∠BAC，

∵FC为直径，

∴∠FBC=90°，

∴sin∠BAC=sin∠F==.