Question

已知：如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，－4），且与y轴交于点C（0，－3）．

（1）求该函数的关系式及该抛物线与x轴的交点A，B的坐标．

（2）请直接写出△ABC的外心M的坐标．

（3）点E为该抛物线上一动点，且满足tan∠ABE=tan∠ACB，请求出点E的坐标．

Answer

（1） ，A（-1，0） B（3，0）；（2） （1，-1）；（3）（-），（-，-）．

【解析】

（1）利用顶点式即可解决问题，令y=0，解方程即可得到A、B的坐标；

（2）由外心为三边中垂线的交点，得到外心M在抛物线的对称轴x=1上，设M（1，y），根据MA=MC，用两点间的距离公式列方程，求解即可；

（3）连接AC、BC．过A作AF⊥CB于F．先求出tan∠ACB的值，即可得到tan∠ABE的值．分两种情况讨论：①当E在x轴上方时，如图1，过E作EG⊥x轴于G，连接EB．设E（x，x2-2x-3），则EG= x2-2x-3，GB=3-x，由tan∠ABE=，列方程求出x的值，即可得到E的坐标；②当E在x轴上方时，如图2，同理可求E的坐标．

（1）设抛物线顶点式为y=a（x﹣1）2－4，将C（0，－3）代入得：a-4=－3，解得：a=1，所以抛物线的关系式为：y=（x﹣1）2﹣4=x2-2x-3，令y=0，即：（x﹣1）2﹣4=0，解得：x1=3，x2=﹣1．∴坐标为A（﹣1，0），B（3，0）．

（2）∵外心为三边中垂线的交点，∴外心M在抛物线的对称轴x=1上，设M（1，y）．

∵MA=MC，∴，解得：y=－1，∴M（1，－1）；

（3）连接AC、BC．过A作AF⊥CB于F．AB=3－（－1）=4，BC=．

∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∴AF=BF=，∴CF=BC-BF=，∴tan∠ACB==2，∴tan∠ABE=tan∠ACB=．

分两种情况讨论：①当E在x轴上方时，如图1，过E作EG⊥x轴于G，连接EB．设E（x，x2-2x-3），则EG= x2-2x-3，GB=3-x．

∵tan∠ABE=，∴，∴，解得：，（舍去），∴x=，y= x2-2x-3=，∴E（，）；

②当E在x轴上方时，如图2，过E作EG⊥x轴于G，连接EB．设E（x，x2-2x-3），则EG= -x2+2x+3，GB=3-x．

∵tan∠ABE=，∴，∴，解得：，（舍去），∴x=，y= x2-2x-3=，∴E（，）．

综上所述：E的坐标为（，）或（，）．