Question

如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），DP=1，AD=2，∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．

（1）求线段PC之长；

（2）求线段PN之长；

（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．求线段EF之长．

Answer

（1） 4；（2） 2.5；（3）．

【解析】

（1）证明△ADP∽△PCB，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论；

（2）先证四边形PMBN是菱形，设菱形边长为x，由折叠的性质和勾股定理即可得出结论；

（3）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC．由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，得到，从而可求出EF=AF﹣AEACAC，代入即可得出结论．

（1）∵ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠C=90°，∴∠DPA+∠DAP=90°．

∵∠APB=90°，∴∠DPA+∠CPB=90°，∴∠DAP=∠CPB，∴△ADP∽△PCB，∴．

∵AD=CB=2，∴，∴PC=4；

（2）∵DP∥AB，∴∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，∴∠PAM=∠APM．

∵∠APB﹣∠PAM=∠APB﹣∠APM，即∠ABP=∠MPB，∴AM=PM，PM=MB，∴PM=MB．

∵BN∥MP，PN∥MB，∴四边形PMBN是平行四边形，∴四边形PMBN是菱形．

设菱形边长为x，则PN=PM=MB=AM=x．

由折叠可知：PD'=PD=1，AD'=AD=2，∴D'M=x-1．

在Rt△AD'M中，∵，∴，解得：x=2.5，∴PN=2.5；

（3）∵PC=4，PN=2.5，∴NC=PC-PN=1.5．在Rt△ABC中，AC=．

∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴，∴，∴AF=AC．又易证：△PCE∽△MAE，∴，∴，∴AE=AC，∴EF=AF﹣AEACAC=．