Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于E、F．

（1）求证：FE⊥AB；

（2）当AE＝6，sin∠CFD＝时，求EB的长．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）先证明OD∥AB，得出∠ODF＝∠AEF，再由切线的性质得出∠ODF＝90°，证出∠AEF＝90°，即可得出结论；

（2）设OA＝OD＝OC＝r，先由三角函数求出AF，再证明△ODF∽△AEF，得出对应边成比例求出半径，得出AB，即可求出EB．

（1）证明：连接OD，如图所示：

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠B，

∴∠ODC＝∠B，

∴OD∥AB，

∴∠ODF＝∠AEF，

∵EF与⊙O相切，

∴OD⊥EF，

∴∠ODF＝90°，

∴∠AEF＝∠ODF＝90°，

∴EF⊥AB；

（2）【解析】
设OA＝OD＝OC＝r，

由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF，

在Rt△AEF中，sin∠CFD＝，AE＝6，

∴AF＝10，

∵OD∥AB，

∴△ODF∽△AEF，

∴

∴

解得r＝，

∴AB＝AC＝2r＝，

∴EB＝AB﹣AE＝﹣6＝．