Question

已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．

（1）如图1，若∠E=70°，求∠BFD．

（2）如图2中，∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠MDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．

Answer

（1）∠BFD=145°；（2）6∠M+∠E=360°，见解析.

【解析】

（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=290°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=145°，从而得到∠BFD的度数；

（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°﹣∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换，即可．

（1）如图1，作EG∥AB，FH∥AB．

∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°．

∵∠BED=∠BEG+∠DEG=70°，∴∠ABE+∠CDE=290°．

∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，∴∠ABF+∠CDF=145°，∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=145°；

（2）∵∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM．

∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°．

∵∠M=∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠E=360°．