Question

（本小题满分9分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；

（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．

【解析】

试题（1）由折叠的性质得到BE=PE，EC⊥PB，根据E为AB中点，得到AE=PE，利用等角对等边得到两对角相等，利用外角性质得到∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，表示出∠APE，由∠APE+∠EPB得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；

（2）根据等边三角形性质，得到△AEP三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由AP=EB，利用AAS即可得证；

（3）过P作PM⊥CD，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，利用面积求出BQ，再根据BP=2BQ求出BP，在Rt△ABP中，利用勾股定理求出AP，根据AF-AP求出PF，由PM与AD平行，得到△PMF与△ADF相似，由相似得比例求出PM，再由FC=AE=3，求出△CPF面积即可．

试题解析：（1）由折叠得到BE=PE，EC⊥PB，∵E为AB的中点，∴AE=EB，即AE=PE，∴∠EBP=∠EPB，∠EAP=∠EPA，∵∠AEP为△EBP的外角，∴∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，∠APE==90°﹣x，∴∠APB=∠APE+∠EPB=x+90°﹣x=90°，即BP⊥AF，∴AF∥EC，∵AE∥FC，∴四边形AECF为平行四边形；

（2）∵△AEP为等边三角形，∴∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，∵∠PEC=∠BEC，∴∠PEC=∠BEC=60°，∵∠BAP+∠ABP=90°，∠ABP+∠BEQ=90°，∴∠BAP=∠BEQ，在△ABP和△EBC中，∵∠APB=∠EBC=90°，∠BAP=∠BEQ，AP=EB，∴△ABP≌△EBC（AAS），∵△EBC≌△EPC，∴△ABP≌△EPC；

（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，根据勾股定理得：EC==5，∵S△EBC=EB•BC=EC•BQ，∴BQ==，由折叠得：BP=2BQ=，在Rt△ABP中，AB=6，BP=，根据勾股定理得：AP==，∵四边形AECF为平行四边形，∴AF=EC=5，FC=AE=3，∴PF==，∵PM∥AD，∴，即，解得：PM=，则S△PFC=FC•PM==．