Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S_△ABG＝S_△FGH；④AG+DF＝FG．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）

Answer

①③④

【解析】

试题解析：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，

∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，

在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，

∴AF==8，

∴DF=AD-AF=10-8=2，

设EF=x，则CE=x，DE=CD-CE=6-x，

在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，

∴（6-x）2+22=x2，解得x=，

∴ED= ，

∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，

∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，

∴∠2+∠3=∠ABC=45°，所以①正确；

HF=BF-BH=10-6=4，

设AG=y，则GH=y，GF=8-y，

在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，

∴y2+42=（8-y）2，解得y=3，

∴AG=GH=3，GF=5，

∵∠A=∠D，，，

∴，

∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；

∵S△ABG=•6•3=9，S△FGH=•GH•HF=×3×4=6，

∴S△ABG=S△FGH，所以③正确；

∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，

∴AG+DF=GF，所以④正确．

∴①③④正确．