Question

（本题满分10分）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：.

（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求证MN²=DM·EN.

Answer

（1）证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，    

∴DP/BQ＝AP/AQ.

同理在△ACQ中，EP/CQ＝AP/AQ.

∴DP/BQ＝EP/CQ.（2）① 

②证明：∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90°.∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC.……3分∴DG/CF＝BG/EF，∴DG·EF＝CF·BG

又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG

由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF)

∴MN2＝DM·EN

【解析】略