Question

已知抛物线C₁：y₁＝a（x﹣h）²+2，直线1：y₂＝kx﹣kh+2（k≠0）．

（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；

（2）若a＞0，h＝1，当t≤x≤t+3时，二次函数y₁＝a（x﹣h）²+2的最小值为2，求t的取值范围．

（3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）﹣2≤t≤1；（3）﹣1＜a＜0或0＜a＜1．

【解析】

(1)利用二次函数的性质找出抛物线的顶点坐标，将x＝h代入一次函数解析式中可得出点(h，2)在直线1上，进而可证出直线l恒过抛物线C1的顶点；

(2)由a＞0可得出当x＝h＝1时y1＝a(x﹣h)2+2取得最小值2，结合当t≤x≤t+3时二次函数y1＝a(x﹣h)2+2的最小值为2，可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出结论；

(3)令y1＝y2可得出关于x的一元二次方程，解之可求出点P，Q的横坐标，由线段PQ(不含端点P，Q)上至少存在一个横坐标为整数的点，可得出＞1或＜﹣1，再结合1≤k≤3，即可求出a的取值范围．

(1)∵抛物线C1的解析式为y1＝a(x﹣h)2+2，

∴抛物线的顶点为(h，2)，

当x＝h时，y2＝kx﹣kh+2＝2，

∴直线l恒过抛物线C1的顶点；

(2)∵a＞0，h＝1，

∴当x＝1时，y1＝a(x﹣h)2+2取得最小值2，

又∵当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a(x﹣h)2+2的最小值为2，

∴，

∴﹣2≤t≤1；

(3)令y1＝y2，则a(x﹣h)2+2＝k(x﹣h)+2，

解得：x1＝h，x2＝h+，

∵线段PQ(不含端点P，Q)上至少存在一个横坐标为整数的点，

∴＞1或＜﹣1，

∵k＞0，

∴0＜a＜k或﹣k＜a＜0，

又∵1≤k≤3，

∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．