Question

如图1，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，点B的坐标为（4，0），点C（a，0）是x轴上一动点，其中a≠0，将△AOC绕点A逆时针方向旋转60°得到△ABD，连接CD．

（1）求证；△ACD是等边三角形；

（2）如图2，当0＜a＜4时，△BCD周长是否存在最小值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图3，当点C在x轴上运动时，是否存在以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）存在，a=2；（3）a=8．

【解析】

（1）根据旋转变换的性质、等边三角形的判定定理证明；

（2）证明△OAC≌△BAD，根据全等三角形的性质得到BD=OC，根据等边三角形的性质计算即可；

（3）分点C在x轴的负半轴上、点C在线段OB上、点C在点B的右侧三种情况，根据直角三角形的性质计算．

（1）证明：由旋转变换的性质可知，AC=AD，∠CAD=60°，

∴ACD是等边三角形；

（2）【解析】
存在，a=2，

理由如下：∵△OAB和△ACD都是等边三角形，

∴AO=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°，

∴∠OAB-∠CAB=∠CAD-∠CAB，即∠OAC=∠BAD，

在△OAC和△BAD中，

，

∴△OAC≌△BAD（SAS）

∴BD=OC，

∴△BCD周长=BC+BD+CD=BC+OC+CD=OB+CD，

当CD最小时，△BCD周长最小，

∵ACD是等边三角形，

∴CD=AC，

当AC⊥OB时，即OC=2，AC最小，最小值为=2，

∴△BCD周长的最小值为4+2，此时a=2；

（3）【解析】
当点C在x轴的负半轴上时，∠BDC=90°，

则∠ADB=30°，

∵△OAC≌△BAD，

∴∠ACO=∠ADB=30°，

∴∠BCD=30°，

∴BD=BC，

∴OC=BC，

∴OC=4，

则a=-4；

当点C在线段OB上时，∠DBC=120°，

∴不存在以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形，

∴a不存在；

当点C在点B的右侧时，∠BCD=90°，

则∠ACO=30°，

∵∠AOC=60°，

∴∠OAC=90°，又∠ACO=30°，

∴OC=2OA=8，

∴a=8．