Question

已知，m，n是一元二次方程x²+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x²+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状．

Answer

（1）y=x2-2x-3；（2）C（3，0），D（1，-4），△BCD是直角三角形．

【解析】

（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论．

（1）∵x2+4x+3=0，∴x1=﹣1，x2=﹣3．

∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3．

∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;

（2）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴C（3，0）．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标D（1，﹣4）.

过点D作DE⊥y轴．

∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形．