Question

如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．

（1）探究猜想：

①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？

②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？

③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．

（2）拓展应用：

如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．

Answer

（1）①∠AED=70°；

②∠AED=80°；

③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，证明见解析；

（2）点P在区域①时，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；

点P在区域②时，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

点P在区域③时，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；

点P在区域④时，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

【解析】

（1）①根据图形猜想得出所求角度数即可；
②根据图形猜想得出所求角度数即可；
③猜想得到三角关系，理由为：延长AE与DC交于F点，由AB与DC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证；
（2）分四个区域分别找出三个角关系即可．

【解析】
（1）①∠AED=70°；

②∠AED=80°；

③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，

证明：延长AE交DC于点F，

∵AB∥DC，

∴∠EAB=∠EFD，

∵∠AED为△EDF的外角，

∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC；

（2）根据题意得：

点P在区域①时，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；

点P在区域②时，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

点P在区域③时，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；

点P在区域④时，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

“点睛”此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．