Question

如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作⊙，为⊙上一动点，连接.以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为____.

Answer

【解析】

如图取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE=AF：AE=1：3，因为DE=3，可得FG=1，推出点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．

如图取AB的中点G，连接FG，FC，GC．

∵∠EAF=90°，tan∠AEF，∴．

∵AB=6，AG=GB，∴AG=GB=3．

∵AD=9，∴，∴．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B═∠EAF=90°，∴∠FAG=∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE=AF：AE=1：3．

∵DE=3，∴FG=1，∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆．

∵GC，∴FC≥GC﹣FG，∴FC≥31，∴CF的最小值为31．

故答案为：31．