Question

如图，中，，，.点从点 出发，沿着运动，速度为个单位/，在点运动的过程中，以为圆心的圆始终与斜边相切,设⊙的面积为，点的运动时间为（）（）.

（1）当时，     ；（用含的式子表示）

（2）求与的函数表达式；

（3）在⊙P运动过程中，当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时，直接写出t的值.

Answer

（1）7-t（2）（3）

【解析】

（1）先判断出点P在BC上，即可得出结论；

（2）分点P在边AC和BC上两种情况：利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；

（3）分点P在边AC和BC上两种情况：借助（2）求出的圆P的半径等于PC，建立方程求解即可得出结论．

（1）∵AC=4，BC=3，∴AC+BC=7．

∵4＜t＜7，∴点P在边BC上，∴BP=7﹣t．

故答案为：7﹣t；

（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得：AB=5，由运动知，AP=t，分两种情况讨论：

①当点P在边AC上时，即：0＜t≤4，如图1，记⊙P与边AB的切点为H，连接PH，∴∠AHP=90°=∠ACB．

∵∠A=∠A，∴△APH∽△ACB，∴，∴，∴PHt，∴Sπt2；

②当点P在边BC上时，即：4＜t＜7，如图，记⊙P与边AB的切点为G，连接PG，∴∠BGP=90°=∠C．

∵∠B=∠B，∴△BGP∽△BCA，∴，∴，∴PG（7﹣t），∴Sπ（7﹣t）2．

综上所述：S；

（3）分两种情况讨论：

①当点P在边AC上时，即：0＜t≤4，由（2）知，⊙P的半径PHt．

∵⊙P与△ABC的另一边相切，即：⊙P和边BC相切，∴PC=PH．

∵PC=4﹣t，∴4﹣tt，∴t秒；

②当点P在边BC上时，即：4＜t＜7，由（2）知，⊙P的半径PG（7﹣t）．

∵⊙P与△ABC的另一边相切，即：⊙P和边AC相切，∴PC=PG．

∵PC=t﹣4，∴t﹣4（7﹣t），∴t秒．

综上所述：在⊙P运动过程中，当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时，t的值为秒或秒．