Question

如图①，二次函数的图像与轴交于、两点（点在的左侧），顶点为，连接并延长交轴于点，若.

（1）求二次函数的表达式；

（2）在轴上方有一点，，且，连接并延长交抛物线于点，求点的坐标；

（3）如图②，折叠△，使点落在线段上的点处，折痕为．若△ 有一条边与轴垂直，直接写出此时点的坐标．

Answer

（1）（2）（3）、

【解析】

（1）函数的对称轴为x1，BC=2CD，xB=3xC=3，即B的坐标为（3，0），即可求解；

（2）易证HMA≌△ANC（AAS），则AM=NC=2，MH=AN=4，可求出点H的坐标和直线CH的表达式，将该表达式与二次函数表达式联立，即可求解；

（3）分C'F⊥x轴、EC'⊥x轴，两种情况求解即可．

（1）函数的对称轴为x1，BC=2CD，xB=3xC=3，即B的坐标为（3，0），将点B的坐标代入二次函数表达式得：

0=a×32﹣2a×3﹣3，解得：a=1．

故二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3…①，则顶点C的坐标为（1，﹣4），令y=0，则x=﹣1或3，即点A的坐标为（﹣1，0）；

（2）过点A作MN∥y轴，分别过点H、C作HM⊥MN、CN⊥MN于点M、N，如图1．

∵∠MAH+∠NAC=90°，∠NAC+∠ACN=90°，∴∠MAH=∠ACN，∠HMA=∠CNA=90°，AC=AH，∴△HMA≌△ANC（AAS），∴AM=NC=2，MH=AN=4，∴点H的坐标为（3，2），设直线HC的解析式为：y=mx+n，把H、C的坐标代入得：，解得：，故直线CH的表达式为：y=3x﹣7…②，联立①②并解得：或，即点P的坐标为（4，5）；

（3）①当C'F⊥x轴，设：函数对称轴交x轴于点G，如图2，则tan∠GBC，设：BC'=x，则FC'=2x=FC，则BFx，BC=BF+CF=2x，即：x=10﹣4，∴点C'的坐标为（47，0）；

②当EC'⊥x轴，同理可得点C'的坐标为：（9﹣4，0）．

综上所述：点C'的坐标为（47，0）或（9﹣4，0）．