Question

已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．

（2）如图1，求AF的长．

（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．

①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．

②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）AF＝5cm；（3）①有可能是矩形，P点运动的时间是8，Q的速度是0.5cm/s；②t＝．

【解析】

（1）证△AEO≌△CFO，推出OE=OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；
（2）设AF=CF=a，根据勾股定理得出关于a的方程，求出即可；
（3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P在AB上，根据平行四边形的性质求出即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEO＝∠CFO，

∵AC的垂直平分线EF，

∴AO＝OC，AC⊥EF，

在△AEO和△CFO中

∵ ，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE＝OF，

∵OA＝OC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴平行四边形AECF是菱形；

（2）【解析】
设AF＝acm，

∵四边形AECF是菱形，

∴AF＝CF＝acm，

∵BC＝8cm，

∴BF＝（8﹣a）cm，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，

a＝5，

即AF＝5cm；

（3）【解析】
①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，

只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，

P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，

Q的速度是：4÷8＝0.5，

即Q的速度是0.5cm/s；

②分为三种情况：第一、P在AF上，

∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，

∴Q只能再CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；

第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，只有当Q在DE上时，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，

∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），

∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），

t＝，

第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；

即t＝．