Question

如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H交BE于G．下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝BF；④AE＝BG．其中正确的个数是（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer

C

【解析】

根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE＝AE＝AC，又因为BF＝AC所以CE＝AC＝BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD＝CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG＝CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．

【解析】
∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，

∴△BCD是等腰直角三角形．

∴BD＝CD．故①正确；

在Rt△DFB和Rt△DAC中，

∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，

∴∠DBF＝∠DCA．

又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，

∴△DFB≌△DAC．

∴BF＝AC；DF＝AD．

∵CD＝CF+DF，

∴AD+CF＝BD；故②正确；

在Rt△BEA和Rt△BEC中

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE．

又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，

∴Rt△BEA≌Rt△BEC．

∴CE＝AE＝AC．

又由（1），知BF＝AC，

∴CE＝AC＝BF；故③正确；

连接CG．

∵△BCD是等腰直角三角形，

∴BD＝CD

又DH⊥BC，

∴DH垂直平分BC．

∴BG＝CG

在Rt△CEG中，

∵CG是斜边，CE是直角边，

∴CE＜CG．

∵CE＝AE，

∴AE＜BG．故④错误．

故选：C．