Question

如图1，AC是边长为6的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝∠PAQ＝60°，∠PAQ绕点A旋转，射线AP、AQ分别交边BC、CD于点E、F，连接EF．请探究：

(1)在旋转过程中，线段AE、AF有怎样的数量关系？并说明理由；

(2)在旋转过程中，△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由

(3)如图2，将∠PAQ沿着AC向下平移至点A处，使CA′：AA′＝2：1，在∠PA′Q绕点A′旋转过程中，始终保持∠ABC＝∠PA′Q，射线A′P、A′Q分别交直线BC、CD于点E、F，连接EF．当S_△A′EF：S_菱形ABCD＝19：18时，直接写出线段CE的长．

Answer

(1)AE＝AF；(2)存在，S△AEF的最小值为；(3)满足条件的EC的值为6或10．

【解析】

(1)结论：AE＝AF．只要证明△ACE≌△ADF即可解决问题．

(2)证明△AEF为等边三角形，故只有边长最小时，△AEF的面积才最小，当AP⊥BC时，AE为最小．

(3)分两种情形分别求解即可解决问题：①如图2中，当等E在CB的延长线上时．②如图3中，当点E在BC的延长线上时．

【解析】
(1)结论：AE＝AF．

理由：如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD

∵∠ABC＝60°，

∴∠ACE＝∠ADF＝60°，

∴AC＝AD，

又∵∠PAQ＝60°，

∴∠ACE＝∠ADF＝∠CAD＝60°，AC＝AD，

∴∠CAE＝∠DAF，

∴△ACE≌△ADF(ASA)，

∴AE＝AF．

(2)存在．

理由：如图1中，由(1)得AE＝AF，∠PAQ＝60°

∴△AEF为等边三角形，

故只有边长最小时，△AEF的面积才最小，

∴当AP⊥BC时，AE为最小，

∵AB＝6，

此时AE＝3，则S△AEF的最小值为．

(3)①如图2中，当等E在CB的延长线上时，作A′H⊥BC于H．

由题意菱形ABCD的面积＝2××62＝18，

∵S△A′EF：S菱形ABCD＝19：18，

∴S△AEF＝19，

∵△A′EF是等边三角形，

∴×A′E2＝19，

∴A′E2＝76，

在Rt△A′CH中，∵CA′＝4，∠A′CH＝60°，

∴CH＝×4＝2，A′H＝2，

∴EH＝＝8，

∴CE＝EH+CH＝8+2＝10．

②如图3中，当点E在BC的延长线上时，作A′H⊥BC于H．

同法可证EH＝8，可得EC＝EH＝CH＝8﹣2＝6，

综上所述，满足条件的EC的值为6或10．