Question

如图，反比例函数y＝（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B．

（1）求反比例函数和直线AC的解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标．

Answer

（1）y＝；y＝﹣x+8；（2）B（6，2）；△ABC的面积＝3；（3）（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．

【解析】

（1）把点A的坐标代入反比例函数即可求出k，再把点A和点C的坐标代入一次函数中即可求出解析式；

（2）由题意BC⊥x轴，且点B在反比例函数上，可求出点B的坐标，从而求出△ABC的面积；

（3）根据平行四边形的性质求得点D的坐标，注意分三种情况讨论.

【解析】
（1）把点A（3，4）代入y＝（x＞0），得

k＝xy＝3×4＝12，

故该反比例函数解析式为：y＝；

把A（3，4），C（6，0）代入y＝mx+n中，

可得： ，

解得： ，

所以直线AC的解析式为：y＝﹣x+8；

（2）∵点C（6，0），BC⊥x轴，

∴把x＝6代入反比例函数y＝，得

y＝＝2．

则B（6，2）．

所以△ABC的面积＝；

（3）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD＝BC，

∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），

∴点D的横坐标为3，yA﹣yD＝yB﹣yC即4﹣yD＝2﹣0，故yD＝2，

所以D（3，2）；

②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′＝CB，

∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），

∴点D的横坐标为3，yD′﹣yA＝yB﹣yC即yD﹣4＝2﹣0，故yD′＝6．

所以D′（3，6）．

③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC＝BD″且AC∥BD″．

∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），

∴xD″﹣xB＝xC﹣xA即xD″﹣6＝6﹣3，故xD″＝9．

yD″﹣yB＝yC﹣yA即yD″﹣2＝0﹣4，故yD″＝﹣2．

所以D″（9，﹣2）．

综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．