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如图,在正方形ABCD中,点G在边BC上(不与点B,C重合),连接AG,作DE⊥...

如图,在正方形ABCD中,点G在边BC上(不与点BC重合),连接AG,作DEAG于点EBFAG于点F,设k

1)求证:AEBF

2)求证:k

3)连接DF,当∠EDF30°时,求k的值.

 

(1)见解析;(2)见解析;(3)k=. 【解析】 (1)根据题意可证明△ABF≌△DAE,从而证明AE=BF; (2)根据题意可证明△ABG∽△DEA,从而可得,再由(1)的结论可得=k; (3)由(1)和(2)的结论可设DE=a,可得到EF=a﹣ka,在Rt△DEF中,根据特殊角的三角函数值求k即可. (1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAD=90°,AB=AD, ∴∠BAF+∠DAE=90°, ∵DE⊥AG, ∴∠ADE+∠DAE=90°, ∴∠BAF=∠ADE, 在△ABF和△DAE中, , ∴△ABF≌△DAE(AAS) ∴AE=BF; (2)证明:∵∠BAF=∠ADE,∠ABG=∠DEA, ∴△ABG∽△DEA, ∴,又AE=BF, ∴=k; (3)【解析】 设DE=a, 则AF=a,BF=AE=ka, ∴EF=a﹣ka, 在Rt△DEF中,tan∠EDF=,即, 解得,k=.
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