Question

如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设＝k．

（1）求证：AE＝BF；

（2）求证：＝k；

（3）连接DF，当∠EDF＝30°时，求k的值．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）k＝．

【解析】

（1）根据题意可证明△ABF≌△DAE，从而证明AE＝BF；

（2）根据题意可证明△ABG∽△DEA，从而可得，再由（1）的结论可得=k；

（3）由（1）和（2）的结论可设DE＝a，可得到EF＝a﹣ka，在Rt△DEF中，根据特殊角的三角函数值求k即可.

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∴∠BAF+∠DAE＝90°，

∵DE⊥AG，

∴∠ADE+∠DAE＝90°，

∴∠BAF＝∠ADE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）

∴AE＝BF；

（2）证明：∵∠BAF＝∠ADE，∠ABG＝∠DEA，

∴△ABG∽△DEA，

∴，又AE＝BF，

∴＝k；

（3）【解析】
设DE＝a，

则AF＝a，BF＝AE＝ka，

∴EF＝a﹣ka，

在Rt△DEF中，tan∠EDF＝，即，

解得，k＝．