Question

已知二次函数y＝﹣x²+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是_____．

Answer

﹣7＜m＜﹣3．

【解析】

如图，解方程﹣x2+x+6=0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线y=x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．

【解析】
如图所示，过点B作直线y＝x+m1，将直线向下平移到恰在点C处相切，

则一次函数y＝x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，

令y＝﹣x2+x+6＝0，解得：x＝﹣2或3，即点B坐标（3，0），

翻折抛物线的表达式为：y＝（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）,

将一次函数与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣2x﹣6﹣m＝0，

△＝b2﹣4ac＝4+4（6+m）＝0，解得：m＝﹣7，

当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝x+m得：0＝3+m，解得：m＝﹣3，

所以当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是﹣7＜m＜﹣3.