Question

如果a：b＝b：c，即b²＝ac，则b叫a和c的比例中项，或等比中项．若一个三角形一条边是另两条边的等比中项，我们把这个三角形叫做等比三角形．

（1）已知△ABC是等比三角形，AB＝2，BC＝3．请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC，求证：△ABC是等比三角形；

（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90时，求的值．

Answer

（1）AC＝或或时，△ABC是比例三角形；（2）见解析；（3） ．

【解析】

（1）根据题目中定义的等比三角形求解即可，应分三种情况讨论；

（2）根据题意可先证明△ABC∽△DCA，从而可得CA2＝BC•AD，再根据已知条件证明AB＝AD，从而可证明CA2＝BC•AB，继而△ABC是等比三角形得证；

（3）过点A作AH⊥BD于点H，由等腰三角形的性质可得BH＝BD，根据题意可证△ABH∽△DBC，从而可得AB•BC＝BD2，由（2）的结论可得BD2＝AC2，进而可求的值.

【解析】
（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，

①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；

②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；

③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值舍去）；

所以当AC＝或或时，△ABC是等比三角形；

（2）∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠CAD，

又∵∠BAC＝∠ADC，

∴△ABC∽△DCA，

∴，即CA2＝BC•AD，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AB＝AD，

∴CA2＝BC•AB，

∴△ABC是等比三角形；

（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，

∵AB＝AD，

∴BH＝BD，

∵AD∥BC，∠ADC＝90°，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BHA＝∠BCD＝90°，

又∵∠ABH＝∠DBC，

∴△ABH∽△DBC，

∴，即AB•BC＝BH•DB，

∴AB•BC＝BD2，

又∵AB•BC＝AC2，

∴BD2＝AC2，

∴＝ ．