Question

如图，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE．

（1）求证：DE=BD+CE．

（2）如果是如图2这个图形，BD、CE、DE有什么数量关系？并证明．

Answer

（1）见解析；（2）BD=DE+CE，理由见解析.

【解析】

（1）先证△AEC≌△BDA得出AD＝CE，BD＝AE，从而得出DE＝BD+CE；

（2）先证△ADB≌△CEA得出AD＝CE，BD＝AE，从而得出BD＝DE+CE．

（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°．

∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠CAE＝90°，∴∠DBA＝∠CAE．

∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AD+AE＝CE+BD；

（2）BD＝DE+CE．理由如下：

∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°．

∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC．

∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，CE＝AD．

∵AE＝AD+DE，∴BD＝CE+DE．