Question

如图，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．

（1）求直线BC的函数表达式；

（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，连接BM．

①若∠MBC＝90°，求点P的坐标；

②若△PQB的面积为，请直接写出点M的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x+3；（2）①P（﹣，0）；②M（，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）先根据坐标轴上点的特点求出A，B的坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；

（2）①设出点M的坐标，利用勾股定理求出BC2＝45，BM2＝OM2+OB2＝m2+9，MC2＝（6﹣m）2，最后用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；

②设出点M的坐标，进而得出点P，Q坐标，即：得出PQ，最后用面积公式即可得出结论．

【解析】
（1）对于y＝x+3，令x＝0，y＝3，

∴B（0，3），

令y＝0，

∴x+3＝0，

∴x＝﹣6，

∴A（﹣6，0），

∵点C与点A关于y轴对称，

∴C（6，0），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；

（2）①设点M（m，0），

∴P（m， m+3），

∵B（0，3），C（6，0），

∴BC2＝45，BM2＝OM2+OB2＝m2+9，MC2＝（6﹣m）2，

∵∠MBC＝90°，

∴△BMC是直角三角形，

∴BM2+BC2＝MC2，

∴m2+9+45＝（6﹣m）2，

∴m＝﹣，∴P（﹣，0）；

②设点M（n，0），

∵点P在直线AB：y＝x+3上，

∴P（n， n+3），

∵点Q在直线BC：y＝﹣x+3上，

∴Q（n，﹣ n+3），

∴PQ＝|n+3﹣（﹣n+3）|＝|n|，

∵△PQB的面积为，

∴S△PQB＝|n|•|n|＝n2＝，

∴n＝±，

∴M（，0）或（﹣，0）．